Problema 3.3.6
Un cilindro di massa m e raggio R rotola senza strisciare su un piano inclinato di un angolo α=30° e lungo l=2,0m.
a) Determinare la velocità del baricentro del cilindro quando arriva in fondo al piano.
b) Se contemporaneamente incomincia a rotolare sullo stesso piano una sfera, quale dei due oggetti arriva prima in fondo?
Applicando il principio di conservazione dell’energia meccanica si ha che l’energia potenziale iniziale, alla fine della discesa, si è trasformata tutta in energia cinetica di traslazione del baricentro ed energia cinetica di rotazione, cioè:
mgh=mvb2+Iω2=mvb2+(mR2)vb2/R2 dato che ω=v/R.
gh=vb2+1/4
vb2=3/4vb2
vb2=4gh/3
vb=√4.9,8.1,0=3,6m/s
con h=lsen30°=2,0.0,5=1,0m.
La sfera ha un diverso momento di inerzia: Ib=2mR2/5.
Facendo le stesse considerazioni ricava:
vb2=10gh/7 da cui vb=√10.9,8.1,0/7=3,7m/s.
Poiché la velocità del baricentro della sfera è maggiore di quella del cilindro, la sfera arriverà per prima in fondo al piano.