Problema 1.7.9

Una particella vibra di moto armonico semplice (fig.1.34) con ampiezza 2{,}0\text{ mm} e la sua accelerazione nell’estremo A è a_\text{A}=8{,}0\times10^3\text{ m/s}^2.
Calcolare:
a) la frequenza del moto;
b) la velocità della particella quando passa dal centro del moto;
c) la velocità della particella per x=1{,}2\text{ mm}.


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fig.1.34

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Vedi cap.1.7

a) Poichè  a_\text{A}=\omega^2R=\left(2\pi f\right)^2\!R, si ha:

    \[f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{a_\text{A}}{R}}=318\text{ Hz}\]

b) Sempre utilizzando la relazione  a_\text{A}=\omega^2R, possiamo ricavare:

    \[v=\omega R=\sqrt{a_\text{A}R}=4{,}0\text{ m/s}\]

c) Dalla legge oraria, x=R\sin(\omega t+\varphi_0), ricaviamo  \displaystyle \sin(\omega t+\varphi_0)=\frac{x}{R}.
Conseguentemente, si ha:  \displaystyle \cos(\omega t+\varphi_0)=\pm\sqrt{1-\frac{x^2}{R^2}}.
Posiamo quindi calcolare (tenendo conto anche dell’espressione di \omega R ricavata al punto precedente):

    \[v=\omega R\cos(\omega t+\varphi_0)=\pm\sqrt{a_\text{A}R}\cdot\sqrt{1-\frac{x^2}{R^2}}=\pm\sqrt{\frac{a_\text{A}\left(R^2-x^2\right)}{R}}=\pm3{,}2\text{ m/s}\]

Il doppio segno corrisponde al fatto che la particella transita dal medesimo punto x=1{,}2\text{ mm} — alternativamente — una volta avvicinandosi al centro e una volta allontanandosene.

Problema del Capitolo 1 - Il moto ▷ Sezione 1.7 - Moti oscillatori

Problema di difficoltà: Media