Problema 1.7.14

Una particella si muove di moto armonico con periodo T=16\text{ s}. La particella passa dall’origine quando t=t_1=2{,}0\text{ s} mentre, quando t=t_2=4{,}0\text{ s}, la sua velocità è di 4{,}0\text{ m/s}.
Determinare l’equazione del moto.

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Vedi cap.1.7

Ci riferiremo all’equazione del moto scritta nella forma:

    \[ x=R\sin\left(2\pi\frac{t}{T}+\varphi_0\right). \]

Per rispondere al quesito posto, dobbiamo trovare il valore della fase iniziale \varphi_0 e il valore dell’ampiezza R.

Come stabilito dal testo del problema, per t=t_1 si ha x=0.
Ne viene che  \displaystyle \sin\left(2\pi\frac{t_1}{T}+\varphi_0\right)=0 e, quindi,  \displaystyle 2\pi\frac{t_1}{T}+\varphi_0=\pm k\pi (con k=0,1,2,\ldots).
Possiamo perciò calcolare:

    \[\varphi_0=\left(\pm k-2\,\frac{t_1}{T}\right)\pi\text{ rad}=\left(\pm k-\frac{1}{4\right)\pi}\text{ rad}.\]

Poiché il moto è periodico, possiamo scegliere il valore di k con una certa arbitrarietà: se, per esempio, poniamo k=0, ne viene \displaystyle \varphi_0=\frac{-\pi}{4}\text{ rad}.

Sempre dal testo del problema, sappiamo il valore della velocità v_2 all’istante t=t_2. pertanto possiamo scrivere:
\displaystyle v_2=\frac{2\pi}{T}R\cdot\cos\left(2\pi\frac{t_2}{T}+\varphi_0\right).
Da questa equazione ricaviamo:

    \[ R=\frac{v_2}{\displaystyle \frac{2\pi}{T}\cdot\cos\left(2\pi\frac{t_2}{T}+\varphi_0\right)}=\frac{4{,}0}{\displaystyle \frac{\pi}{8}\cdot\cos\left(\frac{\pi}{8}\cdot4{,}0-\frac{\pi}{4}\right)}\text{ m}=14\text{ m}. \]

 

Si osservi che, se avessimo lasciato \varphi_0=(\pm k\pi-\pi/4)\text{ rad}, l’argomento del coseno nell’ultima espressione sarebbe risultato pari a \phi=(\pi/4\pm k\pi)\text{ rad};  di conseguenza, \cos(\phi)=\pm\sqrt{2}/2, con il valore positivo in corrispondenza ai valori pari di k e il valore negativo per k dispari.
Poiché R deve essere positivo, ne viene che la scelta di k deve restringersi agli interi pari.

Problema del Capitolo 1 - Il moto ▷ Sezione 1.7 - Moti oscillatori

Problema di difficoltà: Media