Problema 1.7.13

Un oscillatore che si muove di moto armonico semplice si trova, dopo un tempo t_1=T/8 a una distanza x_1=2{,}0\text{ cm} dal centro di oscillazione, con una velocità v_1=4{,}0\text{ cm/s} e un’accelerazione a_1=-8{,}0\text{ cm/s}^2.
Determinare l’equazione del moto x(t).

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Vedi cap.1.7

Per determinare l’equazione del moto, che supponiamo espressa come:

(1)   \begin{equation*} x=R\sin(\omega t+\varphi_0) \end{equation*}

dobbiamo stabilire quali valori abbiano l’ampiezza R, la pulsazione \omega e la fase iniziale \varphi_0.

Dalla relazione a=-\omega^2x, usando i dati forniti, calcoliamo:

    \[\omega=\sqrt{-a_1/x_1}=2{,}0\text{ rad/s}.\]

Consideriamo ora l’equazione della velocità

(2)   \begin{equation*} v=\omega R\cos(\omega t+\varphi_0). \end{equation*}

Ammesso che sia v\neq0, si possono dividere la (1) e la (2) membro a membro, ricavando così la relazione:  \displaystyle \frac{\omega x}{v}=\text{tg}(\omega t+\varphi_0) ; sostituendo in questa i valori dati, nonché tenendo conto del fatto che t_1=T/8 implica \omega t_1=\phi=\pi/4\text{ rad}, si calcola:

    \[\varphi_0=\text{arctan}\left(\frac{\omega x_1}{v_1}\right)-\phi\right)=\left(\text{arctan}\left(\frac{2{,}0\cdot2{,}0}{4{,}0}\right)-\frac{\pi}{4}\right)\right)\text{ rad}=0{,}0\text{ rad}.\]

A questo, punto, dalla (1) e tenendo conto dei risultati precedenti, ricaviamo:

    \[\displaystyle R=\frac{x_1}{\sin(\phi)}=(\sqrt{2}\cdot2{,}0)\text{ cm}=2{,}8\text{ cm}.\]

Problema del Capitolo 1 - Il moto ▷ Sezione 1.7 - Moti oscillatori

Problema di difficoltà: Media