Problema 1.6.1.3

Per effettuare un servizio, un giocatore di tennis lancia la pallina verticalmente verso l’alto a partire da un punto situato $1{,}60\text{ m}$ al di sopra del suolo e la colpisce con la sua racchetta quando raggiunge la sommità della sua traiettoria posta a $0{,}40\text{ m}$ più in alto. Essa parte allora con una velocità $v_1$ orizzontale e deve passare al di sopra della rete di altezza $h=0{,}90\text{ m}$ . La distanza del giocatore dalla rete è $d=12{,}0\text{ m}$ .
a) Con quale velocità $v_0$ il giocatore lancia la palla verticalmente?
b) Stabilire l’equazione della traiettoria della pallina dopo l’urto con la racchetta.
c) Quale deve essere il valore di ${\mbox{{\large $v_1$}}$ , affinché la pallina passi sulla rete a $0{,}10\text{ m}$ al di sopra di essa?
d) Qual è, nel momento del passaggio, la direzione del vettore-velocità della pallina?

Trascurare la resistenza dell’aria.

Guarda la soluzione

Fissiamo il sistema di riferimento cartesiano ortogonale $\small{O},x,y$ con $\small{O}$ nella intersezione della verticale passante per la pallina (che rappresenteremo con un punto materiale) nell’istante $t=0$ con il terreno, l’asse $x$ orizzontale e l’asse $y$ lungo la verticale diretto verso l’alto.

a) Quando la pallina raggiunge la sommità della traiettoria la velocità è nulla. Trattandosi di un moto uniformemente decelerato ( $g=9{,}8\text{ m/s}^2=\text{ cost}$ ), $v_\text{f} = v_0-gt$ e in questo punto quindi $0=v_0-gt$ , da cui ricaviamo $t=v_0/g$ . Sostituendo nella equazione oraria del moto $y=y_0+v_0t-gt^2/2$ , si ottiene: $y_1-y_0=v_0^2/g-v_0^2/(2g)=v_0^2/(2g)$ . (vedi 1.4 Conclusioni)
Noti $y_1-y_0=0{,}40\text{ m}$ e $g$ si ricava $v_0$ :

$v_0 = \sqrt{2g(y_1-y_0)} = 2,80 \text{ m/s}$

$v_0 = 2{,}80\text{ m/s}$ rappresenta dunque la velocità con cui il tennista ha lanciato la pallina verso l’alto.

b) Per ricavare l’equazione della traiettoria consideriamo le componenti del moto lungo le direzioni $x$ e $y$ : per $t=0$ si ha che $x=v_{1x}t$ e $y=y_1+v_{1y}t-gt^2/2$ .
Essendo $v_{1x}=v_1$ , $v_{1y}=0$ e $t=x/v_1$ , si ha:

(1) $\begin{equation*}y=y_1-\frac{gx^2}{2v_1^2}\end{equation*}$

c) Calcoliamo la velocità $v_1$ che il tennista deve trasmettere con la racchetta alla pallina, affinché questa passi $10\text{ cm}$ sopra la rete. La traiettoria della pallina contiene il punto di coordinate $x_2 = 12{,}0\text{ m}$ , $y_2 = (0{,}90+0{,}10)\text{ m}$ .
Dalla (1) si ricava:

$v_1^2=\frac{gx^2}{2(y_1-y)}.$

Posto $x=x_2$ e $y=y_2$ , sostituendo i valori numerici si ottiene:

$v_1^2=\frac{9{,}8 \times 144}{2(2{,}0-1{,}0)} \text{m}^2/\text{s}^2=705{,}6 \text{ m}^2/\text{s}^2$

da cui, infine, si ricava la velocità orizzontale impressa dalla racchetta alla pallina: $v_1=\sqrt{705{,}6} \text{ m/s} = 26{,}6 \text{ m/s}$ .

d) Per individuare la direzione della velocità della pallina quando sorvola la rete basta calcolare le componenti $v_{2x}$ e $v_{2y}$ della velocità in quel punto.