Problema 1.6.1.2

Un giocatore di basket, in allenamento, tira in direzione del canestro, costituito da un semplice cerchio metallico il cui piano orizzontale è situato a un’altezza h=3{,}00\text{ m} dal suolo.
Quando il pallone (r=12{,}5\text{ cm}) è lanciato, il suo centro C è a 2{,}00\text{ m} dal suolo e la distanza fra la verticale passante per centro del pallone e il centro del cesto è 7{,}00\text{ m}. La direzione di lancio del pallone forma un angolo \alpha=45^\circ con l’orizzontale. Il giocatore “fa cesto” se il centro del pallone passa per il centro del cesto.

Calcolare:
a) il valore della velocità che il giocatore deve imprimere al pallone per “fare cesto”;
b) il tempo che impiega il pallone a giungere nel centro del cesto;
c) la velocità del pallone quando arriva nel cesto;
d) a quale distanza dal giocatore il pallone toccherebbe terra se non ci fosse il canestro.
Trascurare la resistenza dell’aria.

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a) Prima di tutto scegliamo opportunamente il sistema di riferimento: sia l’origine 0 sul terreno, in corrispondenza della verticale passante per il centro C del pallone (asse y) nell’istante del lancio (t=0).

x_0=0,   y_0=2{,}00\text{ m}.
Occorre quindi stabilire la traiettoria del centro C del pallone.
Come nel problema precedente consideriamo le componenti del moto in direzione dell’asse x e in direzione dell’asse y. Le rispettive equazioni orarie sono:

(1)   \begin{equation*} x=v_{0x}t \end{equation*}

(2)   \begin{equation*} y=y_0+v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2 \end{equation*}

Per ottenere l’equazione della traiettoria, ricaviamo dalla (1) \displaystyle t=\frac{x}{v_0\cos(\alpha)} e sostituiamo nella (2), ricordando anche che v_{0y}=v_0\sin(\alpha):

(3)   \begin{equation*} y=y_0+v_0\sin(\alpha)\frac{x}{v_0 \cos(x)}-\frac{1}{2}\,g\,\frac{x^2}{v_0^2\sin^2(\alpha)}=y_0+x-\frac{g}{v_0^2}x^2 \end{equation*}

Si riconosce l’equazione di una parabola – che non passa per l’origine degli assi ma, ovviamente, passa per per il punto (x_0\text{; }y_0).

Sapendo che, se si vuole “fare cesto”, il centro del pallone deve transitare per il punto di coordinate x_\text{C}=7{,}00\text{ m, }y_\text{C}=3{,}00\text{ m}, dalla (3) si ottiene la relazione:

    \[y_\text{C}=y_0+x_\text{C}-\frac{g}{v_0^2}x_\text{C}^2\]

dalla quale si ricava:

    \[v_0^2=\frac{gx_\text{C}^2}{x_\text{C}+y_0-y_\text{C}}=\frac{9,8\cdot7{,}00^2}{7{,}00+2{,}00-3{,}00}\text{m}^2\text{/s}^2=80{,}033\ldots\text{ m}^2\text{/s}^2\]

e, in definitiva:
\displaystyle v_0=7\sqrt{\frac{9,8}{6}}\text{ m/s}=8{,}9461\ldots\text{ m/s}\cong8{,}95\text{ m/s}.

b) Il tempo che impiega il pallone a centrare il cesto si può ricavare dalla componente orizzontale del moto:
\displaystyle t=\frac{x_\text{C}}{v_0\cos(\alpha)}=\sqrt{\frac{6{,}00\cdot2}{9{,}8}}\text{ s}=1{,}10657\ldots\cong1{,}11\text{ s}.

c) Per ottenere la velocità \vec{v}_1 del pallone quando arriva nel cesto, possiamo determinare i suoi componenti \vec{v}_{1x} e \vec{v}_{1y}:
\displaystyle v_{1x}=v_{0x}=v_0 \cos(\alpha)=\frac{8{,}9461}{\sqrt{2}}\text{ m/s}=6{,}33\text{ m/s}
\displaystyle v_{1y}=v_0 \sin(\alpha)-gt=\left(\frac{8{,}9461}{\sqrt{2}}-9{,}8\cdot1{,}10657\right)\text{ m/s}=-4{,}52\text{ m/s}
Il segno negativo indica che il pallone sta scendendo. In conclusione:
v_1=\sqrt{v_{1x}^2+v_{1y}^2}=7{,}8\text{ m/s}.
Inoltre il vettore \vec{v}_1 forma con la giacitura orizzontale un angolo \beta che si determina facilmente dalla relazione \text{tg}(\beta)=v_{1y}/v_{1x}. Si calcola così: \beta=-0{,}62\text{ rad} (circa -35{,}5^\circ).

d) Il pallone toccherebbe terra in un punto (x_\text{t}\text{; }x_\text{t}) con y_\text{t}=0.
Sostituendo questi valori nell’equazione della traiettoria (3), otteniamo l’equazione:

(4)   \begin{equation*} \frac{g}{v_0^2}x_\text{t}^2-x_\text{t}-y_0=Ax_\text{t}^2-x_\text{t}-y_0=0 \end{equation*}

dove, per comodità, abbiamo posto \displaystyle A=\frac{g}{v_0^2}=\frac{6{,}00}{7{,}00^2}\text{ m}=0{,}1224\ldots\text{ m}.
Delle due radici interessa soltanto quella positiva che risulta:
x_\text{t}=9{,}8285\ldots\text{ m}\cong9{,}83\text{ m}.
Il pallone giunge a terra a una distanza, in orizzontale, di 9{,}83\text{ m} dal punto di lancio (la distanza “dal giocatore” dipende dalla postura dell’atleta al momento del tiro, che il testo del problema non ha specificato).

Nel nostro calcolo non abbiamo tenuto conto del diametro 2R della palla: se consideriamo anche questo dettaglio, dobbiamo modificare l’equazione (4) ponendo:

    \[Ax_\text{t}^2-x_\text{t}-y_0+R=0\]

La circonferenza di un pallone da basket regolamentare (“taglia 7”) deve essere compresa tra 74{,}9\text{ cm} e 78{,}0\text{ cm}, il che corrisponde a circa 11{,}9\text{ cm}\leq R\leq12{,}4\text{ cm}.   Assumeremo, perciò, che sia   R=12{,}0\text{ cm}.
Con questa ipotesi, si ricava x_\text{t}=9{,}74\text{ m}, una differenza apprezzabile.

Problema del Capitolo 1 - Il moto ▷ Sezione 1.6 - Moto parabolico

Problema di difficoltà: Alta