Problema 1.4.17

L’automobile A è ferma ad un semaforo. Nell’istante in cui questo diventa verde A parte e l’automobile B la sorpassa. procedendo a velocità costante. Ambedue le macchine viaggiano nella stessa direzione e nello stesso verso. I grafici delle velocità delle due automobili in funzione del tempo sono riportati in fig. 1.19.
a) Dopo quanto tempo l’automobile A ha la stessa velocità dell’automobile B?
b) In quell’istante, di quanto l’automobile B precede l’automobile A?
c) Qual è l’automobile che si trova più avanti e di quanto dopo 20\text{ s}?
d) In quale istante l’automobile A raggiunge l’automobile B?
e) Quanto distano le due automobili dal semaforo nell’istante in cui l’automobile A raggiunge l’automobile B?

fig.1.19

Guarda la soluzione

Siamo nell’ipotesi che A e B si muovano in linea retta nella stessa direzione e verso.

a) Dal grafico si ricava t=15\text{ s}.

b) Dal calcolo delle aree si ricava che \displaystyle \Delta s=s_\text{B}-s_\text{A}=\frac{30\cdot15}{2}\text{ m}=225\text{ m}.

c) Dopo 20\text{ s}:
s_\text{B}=30\cdot20\text{ m}=600\text{ m},   \displaystyle s_\text{A}=\frac{40\cdot20}{2}\text{ m}=400\text{ m}
Quindi B precede A di:   s_\text{B}-s_\text{A}=200\text{ m}

d) In quell’istante gli spostamenti sono uguali (s_\text{B}=s_\text{A}). Indichiamo con v_\text{Af} il valore della velocità dell’auto A al termine della fase di accelerazione e con v_\text{B} il valore della velocità dell’auto B. Infine sia t_1 l’intervallo di tempo nel quale l’auto A accelera (t_1=20\text{ s}). Con riferimento alle “aree” rappresentate nel grafico, possiamo scrivere:
\displaystyle s_\text{B}=v_\text{B}t=s_\text{A}=\frac{v_\text{Af}\;t_1}{2}+v_\text{Af}(t-t_1)
Risolvendo per t, ricaviamo:
\displaystyle t=\frac{v_\text{Af}\;t_1}{2(v_\text{Af}-v_\text{B})}=\frac{40\cdot20}{2(40-30)}\text{ s}=40\text{ s}.

e) Dopo i primi 20\text{ s}, B precede A di 200\text{ m} e da quell’istante le due automobili viaggiano di moto uniforme.
Si può procedere come nel Problema 1.3.3. L’auto A viaggia con una velocità superiore a quella dell’auto B di 10\text{ m/s}, quindi per raggiungere B da quell’istante impiegherà ancora un tempo \displaystyle \Delta t=\frac{200}{10}\text{ s}=20\text{ s}. In tutto t_2=40\text{ s}.
Quindi, quando l’auto A raggiunge l’altra, esse distano dal semaforo   s_\text{A}=s_\text{B}=v_\text{B}\,t_2=(30\cdot40)\;\text{m}=1200\text{ m}.

Problema del Capitolo 1 - Il moto ▷ Sezione 1.4 - Analisi di moti rettilinei uniformemente accelerati

Problema di difficoltà: Media