Problema 1.4.14

Un oggetto viene lanciato verso l’alto lungo la verticale con una velocità di 20\;\text{m/s}, raggiunge la massima altezza h, poi ridiscende a terra. Assumendo che l’accelerazione di gravità sia g=10\;\text{m/s}^2, calcolare la massima altezza raggiunta e quanto tempo l’oggetto impiega a tornare a terra.
Si trascuri la resistenza dell’aria.

Guarda la soluzione

Dato che g=\;\text{cost.} si tratta di un moto uniformemente decelerato nella salita (\vec{g} ha verso opposto a \vec{v}) ed accelerato nella discesa (\vec{g} concorde con \vec{v}). Nel punto di massima altezza v=0.

Per la salita:
v=v_0-gt e la sommità della traiettoria sarà raggiunta quando v=0.
Quindi t=v_0/g=2,0\;\text{s}
\displaystyle h=v_\text{m}t=\frac{v_0+0}{2}\cdot\frac{v_0}{g}=\frac{v_0^2}{2g}=20\;\text{m}.

In discesa l’oggetto ripercorre lo stesso tratto che ha salito, con accelerazione invariata, come fosse il film del moto di andata visto a rovescio. La discesa richiede, perciò, lo stesso tempo della salita.
Dunque, per tornare a terra l’oggetto impiega in tutto, dal momento del lancio, 2t=4\;\text{s}.

Più in dettaglio, consideriamo l’equazione oraria dell’intero moto s=-\frac{1}{2}gt^2+v_0t e cerchiamo gli istanti nei quali l’oggetto è a terra. Una soluzione l’abbiamo già: l’istante iniziale, t=0. Perciò supponiamo ora che sia t\neq0 e risolviamo l’equazione -\frac{1}{2}gt^2+v_0t=0. Dividendo per t otteniamo:   -\frac{1}{2}gt+v_0=0, da cui   t=2v_0/g. Espressione che è proprio il doppio del tempo di salita trovato sopra.

Problema del Capitolo 1 - Il moto ▷ Sezione 1.4 - Analisi di moti rettilinei uniformemente accelerati

Problema di difficoltà: Bassa