Problema 1.3.3

Un’automobilista distratto passa a un semaforo rosso senza fermarsi e procede tranquillamente alla velocità di 10 m/s. Un vigile motorizzato lo insegue, passando dallo stesso semaforo 30\text{ s} dopo, alla velocità di 20\text{ m/s}.
Dopo quanto tempo e a che distanza dal semaforo il vigile raggiunge l’automobilista?
(Supponi che automobilista e vigile viaggino a velocità costante.)

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1) Risolviamo il problema utilizzando le leggi del moto.
Vedi problemi Cap 1.2.

Assumiamo il semaforo come origine di riferimento per gli spostamenti e sia t=0 l’istante in cui il vigile transita dal semaforo. Indichiamo anche con \Delta t=30\text{ s} l’intervallo di tempo che trascorre tra i passaggi dal semaforo, rispettivamente, dell’automobilista e del vigile.
L’equazione del moto per il vigile risulta allora:
s_\text{v}=v_\text{v}t.
L’equazione del moto per l’automobilista, considerato che costui, per t= 0, dista già s_0=v_\text{a}\Delta t=10\cdot30 \text{ m}=300\text{ m} dal semaforo, è invece:
s_\text{a}=v_\text{a}t+s_0.

Quando il vigile raggiunge l’automobilista ambedue si trovano contemporaneamente alla stessa distanza dal semaforo: s_\text{v}=s_\text{a}; perciò possiamo scrivere:

    \[v_\text{v}t=v_\text{a}t+s_0\]

da cui ricaviamo:

    \[t=\frac{s_0}{v_\text{v}-v_\text{a}}=\frac{300\text{ m}}{10\text{ m/s}}=30\text{ s}.\]


Per calcolare la distanza dal semaforo basta calcolare di quanto si è spostato, per esempio, il vigile in quei 30\text{ s}:
s_\text{v}=20\text{ m/s}\cdot30\text{ s}=600\text{ m}

2) Risolviamo il problema per via grafica.
Assumiamo le stesse condizioni iniziali di 1) e costruiamo i grafici s=s(t) per automobilista e vigile.

Le coordinate del punto d’incontro delle due rette rappresentano rispettivamente dopo quanto tempo e a che distanza dal semaforo il vigile raggiunge l’automobilista: t=30\text{ s} e s=600\text{ m}.
Chi ha già studiato la geometria analitica può riconoscere che le due rette non sono altro che la rappresentazione grafica delle rispettive leggi del moto e che il punto d’intersezione fornisce i valori di t e di s comuni alle due equazioni.

3) Risolviamo il problema, cambiando sistema di riferimento: mettiamoci dal punto di vista dell’automobilista.

Rispetto all’automobilista il vigile, quando supera il semaforo, si trova ad una distanza di 300\text{ m} e viaggia ad una velocità relativa v_\text{r}=(20-10)\text{ m/s}=10\text{ m/s}.
Per raggiungerlo impiegherà un intervallo di tempo
\displaystyle t=\frac{300\text{ m}}{10\text{ m/s}}=30\text{ s}.
Rispetto all’automobilista il semaforo si allontana alla velocità di 10\text{ m/s} e dopo 30\text{ s} si troverà ad una distanza s=(300+10\cdot30)\text{ m}=600\text{ m}.

Problema del Capitolo 1 - Il moto ▷ Sezione 1.3 - Moti relativi

Problema di difficoltà: Media