Problema 12.4.8

In un cilindro retto verticale, di sezione S=500cm2, chiuso superficialmente da un pistone del peso P=5090N (fig.12.19)sono contenute n=0,5 moli di azoto N2 alla temperatura T1=300K.

Il gas viene riscaldato fornendo la quantità di calore Q1,2=2,08Kcal e contemporaneamente il pistone passa dalla posizione a) alla posizione b).

Si blocca il pistone nella posizione b) e si raffredda il gas fino a che ritorna nella temperatura iniziale T1.

Tanto il cilindro che il pistone vengono isolati adiabaticamente, poi si lascia libero il pistone che scenderà fino a raggiungere nella posizione c) le condizioni di equilibrio.

Il gas viene poi raffreddato fino a tornare nello stato iniziale, con il pistone nella posizione a).


fig.12.10

Calcolare i volumi occupati dal gas, quando il pistone si trova rispettivamente nelle posizioni a), b), c), il lavoro fatto nelle singole trasformazioni e le quantità di calore scambiate con l’ambiente esterno.

La pressione atmosferica vale durante tutto il ciclo p0=1,0atm.

Guarda la soluzione

n=0,5moli

pS=5090/500=10,2.104N/m2 (pressione esrcitata dallo stantuffo)

1,0atm=1,013.105N/m2

pS =10,2.104/(1,013.105)=1,0atm


a) p1=p0+pS (pressione di equilibrio iniziale del gas)

p1=1,0+1,0=2,0atm

Applichiamo l’eq.caratteristica dei gas perfetti pV=nRT da cui ricaviamo il volume iniziale V1:

V1=nRT1/p1

V1=0,5.0,082.300/2=6,15l









Stato a)

p1=2,0atm

V1=6,15l

T1=300K

b) Vedi Cap.12.3.

Q1,2= nCp(T2-T1)

Cp=7R/2 (gas biatomico)

T2=T1+Q1,2/nCp

T2 =300+2080/(0,5.3,5.1,98)=300+600=900K

p2=p1 (trasformazione isobara)

V2/V1=T2/T1

V2 =6,15.3=18,45l









Stato b)

p2=2,0atm

V2=18,5l

T2=900K

V3=V2 (trasf. isocora)

p3/p2=T3/T2

p3=2,0/3=0,67atm









 

p3=0,67atm

V3=18,5l

T3=300K

Si può anche calcolare p3,considerando l’isoterma 1,3 (vedi figura):


p3/p1=V1/V3

p3=2.6,15/18,5=2/3=0,67atm



c) Se il pistone è in equilibrio p4=p1:

p3V3γ =p4V4γ [trasf.adiabatica (Cap.12.4b)]

γ =7/5=1,4 (gas biatomico)

V4γ =p3/p4.V3γ

1,4γ LogV4=Log p3/p4 +γ LogV3

LogV4=0,927

V4=8,45l

La temperatura T4 possiamo calcolarla con facilità considerando l’isobara 1-4 (vedi figura):

V1/V4=T1/T4

T4=8,45/6,15.300=415K









Stato c)

p4=2,0atm

V4=8,45l

T4=415K

 


In a) il volume è V1=6,15l, in b) V2=V3 =18,5l, in c) V4=8,45l.


fig.12.20


L1,2=p1(V2-V1)=24,7l.atm [isobara (Cap.12.2a)]

L2,3=0l.atm [isocora (Cap.12.b)]

Applichiamo il I principio della termodinamica Δ U=Q-L, ma Q=0 (trasf. adiabatica):

ΔU=nCvΔT (vedi Cap.12.4)

L3,4=-nCv(T4-T3)

L3,4=-0,5.5/2.1,98.115=29l.atm

L4,1=p1(V1-V4)

L4,1=-2.2,3= -4,6l.atm(isobara)

Q1,2=2080cal

Q2,3=nCv(T3-T2)

Q2,3=-1500cal (isocora)

Q3,4=0 (adiabatica)

Q4,1=nCp(T1-T4)

Q4,1 =0,5.7/2.1,98.(-115)=-405cal (isobara)

Problema del Capitolo 12 - Termodinamica

Problema di difficoltà: Media